1.集合论

1.集合

集合的运算

1. 并集
   $A \cup B=\{x \mid x \in A \text{ 或 } x \in B\}$

2. 交集
   $A \cap B=\{x \mid x \in A \text{ 且 } x \in B\}$

3. 差集
   $A-B=\{x \mid x \in A \text{ 且 } x \notin B\}$

4. 补集
   $\overline{A}=U-A=\{x \mid x \in U \text{ 且 } x \notin A\}$

5. 对称差集
   $A \oplus B=\{x \mid (x \in A \text{ 且 } x \notin B) \text{ 或 } (x \in B \text{ 且 } x \notin A)\}$

图示：并集、交集、差集、补集、对称差集（维恩图）

推广（多个集合运算）

1. $\bigcup_{i=1}^{n} A_i = A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup \cdots \cup A_n = \{x \mid (x\in A_1) \text{ 或 } (x\in A_2) \text{ 或… 或}(x\in A_n)\}$

2. $\bigcap_{i=1}^{n} A_i = A_1 \cap A_2 \cap A_3 \cap \cdots \cap A_n = \{x \mid (x\in A_1) \text{ 且 } (x\in A_2) \text{ 且… 且}(x\in A_n)\}$

当 n 无限增大时：

3. $\bigcup_{i=1}^{\infty} A_{i}=\bigcup_{i \in Z^{+}} A_{i}=A_{1} \cup A_{2} \cup A_{3} \cup \cdots$

4. $\bigcap_{i=1}^{\infty} A_{i}=\bigcap_{i \in Z^{+}} A_{i}=A_{1} \cap A_{2} \cap A_{3} \cap \cdots$

定理（集合恒等式）

1. 幂等律
   $A \cup A=A$
   $A \cap A=A$

2. 交换律
   $A \cup B=B \cup A$
   $A \cap B=B \cap A$

3. 结合律
   $A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C$
   $A\cap (B\cap C)=(A\cap B) \cap C$

4. 恒等律
   $A \cup \emptyset=A$
   $A \cap U=A$

5. 零律
   $A \cup U=U$
   $A \cap \emptyset=\emptyset$

6. 分配律
   $A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$
   $A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C)$

7. 吸收律
   $A \cap(A \cup B)=A$
   $A \cup(A \cap B)=A$

8. 否定律
   $\overline{\overline{A}}=A$

9. DeMorgan律
   $\overline{A \cup B}=\overline{A} \cap \overline{B}$
   $\overline{A \cap B}=\overline{A} \cup \overline{B}$

10. 矛盾律
    $A \cap \overline{A}=\emptyset$

11. 排中律
    $A \cup \overline{A}=U$

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2.集合的应用

集合的基本概念

1. 把一些事物汇集到一起组成一个整体就称作集合，这些事物就是这个集合的元素或成员。元素和集合之间的关系是隶属关系，即属于或不属于，属于记作$\in$，不属于记作$\notin$。

   例：$a \in\{a,\{b, c\} \},\ d \notin \{ a,\{ b, c\} \}$

2. 设$A,B$为集合，如果$B$中的每个元素都是$A$中的元素，则称$B$是$A$的子集，记作 $B \subseteq A$。 如果$B$不被$A$包含，记作 $B \nsubseteq A$。

3. 设$A,B$为集合，如果 $A \subseteq B$ 且 $B \subseteq A$，则称$A$与$B$相等，记作 $A=B$。

4. 设$A,B$为集合，如果 $B \subseteq A$ 且 $B \neq A$，则称$B$是$A$的真子集，记作 $B \subset A$。

5. 不含任何元素的集合称作空集，记作$\emptyset$，空集是一切集合的子集。

6. 含有$n$个元素的集合简称为$\boldsymbol{n}$元集，它的含有 $m(m \le n)$ 个元素的子集称作它的$m$元子集。

   例：$A=\{1,2,3\}$，将$A$的子集分类

   • 0元子集: $\emptyset$
   • 1元子集: $\{1\}, \{2\}, \{3\}$
   • 2元子集: $\{1,2\}, \{1,3\}, \{2,3\}$
   • 3元子集: $\{1,2,3\}$

7. 设$A$为集合，把$A$的全体子集构成的集合称作$A$的幂集，记作 $P(A)$。

   例：$A=\{1,2,3\}$

   $P(A)=\big \{ \emptyset ,\{ 1\} ,\{ 2\} ,\{ 3\} ,\{ 1, 2\} ,\{ 1, 3\} ,\{ 2, 3\} ,\{ 1, 2, 3\} \big \}$

8. 若$A$是$n$元集，则 $P(A)$ 有$\boldsymbol{2^n}$个元素。

9. 在一个具体问题中，如果所涉及的集合都是某个集合的子集，则称这个集合为全集，记作$E$。

集合的运算

1. 并运算:
   $A \cup B=\{x \mid x \in A \vee x \in B\}$

2. 交运算:
   $A \cap B=\{x \mid x \in A \land x \in B\}$

3. 差运算:
   $A-B=\{x \mid x \in A \land x \notin B\}$

4. 对称差:
   $A \oplus B= (A-B) \cup(B-A) = (A\cup B) -(A\cap B)$

5. $A$ 的绝对补集:
   $\sim A=E-A=\{x \mid x \in E \land x \notin A\}$

集合恒等式

• 幂等律
  $A \cup A=A$
  $A \cap A=A$

• 结合律
  $(A \cup B) \cup C=A \cup(B \cup C)$
  $(A \cap B) \cap C=A \cap(B \cap C)$

• 交换律
  $A \cup B=B \cup A$
  $A \cap B=B \cap A$

• 分配律
  $A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$
  $A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$

• 同一律
  $A \cup \emptyset=A$
  $A \cap E=A$

• 零律
  $A \cup E=E$
  $A \cap \emptyset=\emptyset$

• 排中律
  $A \cup \sim A=E$

• 矛盾律
  $A \cap \sim A=\emptyset$

• 吸收律
  $A \cup(A \cap B)=A$
  $A \cap(A \cup B)=A$

• 德摩根律
  $A-(B\cup C)=(A-B)\cap (A-C)$
  $A-(B\cap C)=(A-B)\cup (A-C)$
  $\sim (B\cup C)=\sim B\cap \sim C$
  $\sim (B\cap C)=\sim B\cup \sim C$
  $\sim \emptyset=E$

• 其他公式
  $A-B=A\cap\sim B$
  $A\cup B=B\Leftrightarrow A\subseteq B\Leftrightarrow A\cap B=A\Leftrightarrow A-B=\emptyset$
  $A \oplus B=B \oplus A$
  $(A \oplus B) \oplus C=A \oplus(B \oplus C)$
  $A \oplus \emptyset=A$
  $A \oplus A=\emptyset$
  $A \oplus B=A \oplus C \Rightarrow B=C$
  $A \oplus \sim A=E$