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离散数学

13.群

1.半群与含幺半群

  • 代数系统：非空集合 SS 和 SS 上 kk 个一元或者二元运算组成的系统，例如 <N,+>< N,+>、<Z,+,×>< Z,+, \times>。

    • 广群：① 一个代数系统；② 二元运算 ∗* 是封闭的。
    • 半群：① 是广群；② 二元运算 ∗* 是可结合的。
    • 独异点（含幺半群）：① 一个代数系统 <S,∗>< S, *> 是半群；② 含有幺元。

  • 设 <G,∗>< G, *> 是一个代数系统，其中 GG 是非空集合，∗* 是 GG 上一个二元运算，如果

    • a) 运算 ∗* 是封闭的（广群）
    • b) 运算 ∗* 是可结合的（半群）
    • c) 存在幺元 ee（独异点）
    • d) 对于 ∀x∈G\forall x \in G 存在着它的逆元 x−1x^{-1}
      则称 <G,∗>< G, *> 是一个群。

  • 例1：半群、群和独异点的关系是：群⊆独异点⊆半群群 \subseteq 独异点 \subseteq 半群

  • 例2：设 V=<S,∗>V=< S, *> 是广群，∗* 是二元运算，如果 ∗* 是可结合的，∗* 的单位元是 ee，则称 VV 为独异点。

  • 例3：设 QQ 是有理数集，Q∗=Q−{0}Q^{*}=Q-\{0\}，a,b∈Q∗a,b \in Q^{*}，aΔb=8aba \Delta b=8ab，证明：(Q∗,Δ)(Q^{*}, \Delta) 为群。
    证：

    • (1) 封闭性
      ∀a,b∈Q∗, a≠0, b≠0\forall a, b \in Q^{*},\ a \neq 0,\ b \neq 0
      8ab≠0, aΔb∈Q∗8ab \neq 0,\ a \Delta b \in Q^{*}
      ∴\therefore 运算 Δ\Delta 是封闭的。
    • (2) 结合性
      ∀a,b,c∈Q∗\forall a, b, c \in Q^{*}
      (aΔb)Δc=(8ab)Δc=64abc(a \Delta b) \Delta c=(8ab) \Delta c=64abc
      aΔ(bΔc)=aΔ(8bc)=64abca\Delta (b\Delta c)=a\Delta (8bc)=64abc
      ∴(aΔb)Δc=aΔ(bΔc)\therefore(a \Delta b) \Delta c=a \Delta(b \Delta c)
      ∴\therefore 运算 Δ\Delta 是可结合的。
    • (3) 该运算 Δ\Delta 的幺元是 18\displaystyle \frac{1}{8}。
    • (4) 对于 ∀a∈Q∗\forall a \in Q^{*}，均存在它的逆元 a−1a^{-1}。
      综上，(Q∗,Δ)(Q^{*}, \Delta) 为一个群。

2.‼️群及其性质

  • 例：求群 <Z8,+8>< \mathbb{Z}_8,+_{8}> 中元素 {0,1,2,3,4}\{0,1,2,3,4\} 的周期。

    • step1：先求出幺元 e=0e=0
    • step2：再按 an=e=0a^{n}=e=0 解得周期 nn。
      解：设群的幺元为 ee。
      则对 ∀a∈<Z8,+8>\forall a \in< \mathbb{Z}_8,+_{8}> 有
      e+8a=a+8e=(a+e) mod 8=ae+_{8} a=a+_{8} e=(a+e) \bmod 8=a
      ∴e=0\therefore e=0

  • 求 {0,1,2,3,4}\{0,1,2,3,4\} 的周期，设周期为 nn：
    0n=e=0, n=10^{n}=e=0,\ n=1
    1n=e=0, n=81^{n}=e=0,\ n=8
    2n=e=0, n=42^{n}=e=0,\ n=4
    3n=e=0, n=83^{n}=e=0,\ n=8
    4n=e=0, n=24^{n}=e=0,\ n=2

3.特殊群

若群 <G,∗>< G, *> 中：

  1. 若运算 ∗* 满足交换律，即 ∀a,b∈G\forall a, b \in G 都有 a∗b=b∗aa * b=b * a，则称 <G,∗>< G, *> 为交换群（阿贝尔群）。
  2. 集合 GG 的基数称为群 GG 的阶，记为 ∣G∣|G|。若群 <G,∗>< G, *> 的阶有限，则称为有限群，否则称为无限群。

4.‼️陪集与拉格朗日定理

  • 例：
    1. 求 <Z6,+6>< \mathbb{Z}_6,+_{6}> 的子群 {0,2,4}\{0,2,4\} 的所有左陪集。
    2. <Z6,+6>< \mathbb{Z}_6,+_{6}> 是否存在5个不同陪集的子群。 解：

  1. Q={0,1,2,3,4,5}Q=\{0,1,2,3,4,5\}
    设子群 H={0,2,4}H=\{0,2,4\}。
    对于 ∀a∈Q\forall a \in Q，所有左陪集：
    0H=0+{0,2,4}={0,2,4}0H=0+\{ 0,2,4\} =\{ 0,2,4\}
    1H=1+{0,2,4}={1,3,5}1H=1+\{ 0,2,4\} =\{ 1,3,5\}
    2H=2+{0,2,4}={2,4,0}2H=2+\{ 0,2,4\} =\{ 2,4,0\}
    3H=3+{0,2,4}={3,5,1}3H=3+\{ 0,2,4\} =\{ 3, 5, 1\}
    4H=4+{0,2,4}={4,0,2}4H=4+\{0,2,4\} =\{ 4,0,2\}
    5H=5+{0,2,4}={5,1,3}5H=5+\{ 0,2,4\} =\{ 5,1,3\}

  2. 由拉格朗日定理，陪集个数 k=nm\displaystyle k=\frac{n}{m}。
    设 k=5k=5，n=6n=6。不存在正整数 mm，使得 nm=5\displaystyle \frac{n}{m}=5。
    故 <Z6,+6>< \mathbb{Z}_6,+_{6}> 不存在有5个不同陪集的子群。

5.正规子群与商群

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