8.函数

1.函数

函数的定义

1. 设$F$为二元关系，若$\forall x \in dom\ F$都存在唯一的 $y \in ran\ F$ 使 $x F y$ 成立，则称$F$为函数。
   对于函数 $F$，记作 $y=F(x)$，并称$y$为$F$在$x$处的值。

   • 例：判断是否为函数：
     $F_{1}=\left\{< x_{1}, y_{1}>,< x_{2}, y_{1}>,< x_{3}, y_{2}>\right\} \quad \text{是函数}$
     $F_{2}=\left\{< x_{1}, y_{1}>,< x_{1}, y_{2}>\right\} \quad \text{不是函数}$

2. 设 $A,B$ 为集合，如果$f$为函数，且 $dom\ f=A,\ ranf \subseteq B$，则称作从 $A$ 到$B$的函数，记作 $f: A \to B$。

3. 设 $f: A \to B$

   • 若 $ranf=B$，则称 $f: A \to B$ 是满射的。
   • 若 $\forall y \in ranf$ 都存在唯一的 $x \in A$ 使得 $f(x)=y$，则称 $f: A \to B$ 是单射的。
   • 若$f:A\rightarrow B$既是满射又是单射的，则称$f:A\rightarrow B$是双射的（或一一映像）

4. 若$f$是从有限集 $A$ 到有限集 $B$ 的函数：

   • $f$ 是满射的必要条件：$|A| \geq|B|$

   • $f$ 是单射的必要条件：$|A| \leq|B|$

   • $f$ 是双射的必要条件：$|A|=|B|$

   • 例：设 $A=\{1,2,3\},\ B=\{a, b\}$，求 $B^{A}$
     解：
     $f_{0}=\{< 1, a>,< 2, a>,< 3, a>\}$
     $f_{1}=\{ < 1,a> ,< 2,a> ,< 3,b> \}$
     $f_{2}=\{ < 1,a> ,< 2,b> ,< 3,a> \}$
     $f_{3}=\{ < 1,a> ,< 2,b> ,< 3,b> \}$
     $f_{4}=\{ < 1,b> ,< 2,a> ,< 3,a> \}$
     $f_{5}=\{ < 1,b> ,< 2,a> ,< 3,b> \}$
     $f_{6}=\{ < 1,b> ,< 2,b> ,< 3,a> \}$
     $f_{7}=\{ < 1,b> ,< 2,b> ,< 3,b> \}$
     $|A|=3,\quad|B|=2,\quad\left|B^{A}\right|=2^{3}=8$

   • 例：函数 $f: \mathbb R \to [-1,1]$，$\mathbb R$ 为实数集合，$[-1,1]$为$-1$到$1$的实数闭区间，$f(x)=\sin(x)$
     A.单射但是非满射 B.满射非单射 C.双射 D.既不是单射，也不是满射
     解：

     $$|A| \geq|B|，选B。$$

5. 设 $F,G$ 是函数，则 $F \circ G$ 也是函数，且满足：

   • $\ dom(F\circ G)=\{ x\mid x\in domF\land F(x)\in domG\}$

   • $\ \forall x \in dom(F \circ G),\ 有 (F \circ G)(x)=G(F(x))$

   • 例：设 $A=\{1,2,3,4,5\},\ B=\{a, b, c, d\}$，函数 $f: A \to B,\ g: B \to A$

     • $f=\{ < 1,a> ,< 2,a> ,< 3,d> ,< 4,c> ,< 5,b> \}$
     • $g=\{< a, 1>,< b, 3>,< c, 5>,< d, 2>\}$
       求 $f \circ g,\ g \circ f$
       解：
       $f \circ g=\{ < 1,1> ,< 2,1> ,< 3, 2> ,< 4, 5> ,< 5, 3> \}$
       $g\circ f=\{ < a,a> ,< b,d> ,< c,b> ,< d,a> \}$

6. 设 $f: A \to B$ 是函数，如果$f^{-1}=\{< y, x> \mid x \in A,\ y \in B,\ y=f(x)\}$是从 $B$ 到 $A$ 的函数，则称 $f^{-1}: B \to A$ 为函数 $f$ 的反函数。

   • 例：求下列函数的反函数

7. $f_{1}(x)=x^{2},\ x \in \mathbb R$ 没有反函数

8. $f_{2}(x)=x^{2},\ x \in \mathbb R^{+}$ 有反函数 $\displaystyle f_{2}^{-1}(x)=\sqrt{x}$

9. $f_{3}(x)=2 x,\ x \in \mathbb R$ 有反函数 $\displaystyle f_{3}^{-1}(x)=\frac{1}{2} x$

• 推论1：设$F, G, H$ 为函数，则 $(F \circ G) \circ H$ 和 $F \circ(G \circ H)$ 都是函数，且$(F \circ G) \circ H=F \circ(G \circ H)$

• 推论2：设$f: A \to B,\ g: B \to C$，则 $f \circ g: A \to C$，且 $\forall x \in A$ 都有$(f \circ g)(x)=g(f(x))$

  • 例：设函数 $f(x)=2 x,\ g(x)=x^{2}+1$，求 $f \circ g$
    解：$(f \circ g)(x)=g(f(x))=(2 x)^{2}+1=4 x^{2}+1$