设 S S S f : S × S → S f: S \times S \to S f : S × S → S S S S S S S f : S → S f: S \to S f : S → S S S S S S S
① S S S 唯一的 。
② S S S S S S S S S 封闭的 。
交换律 ：设 ∘ \circ ∘ S S S x , y ∈ S x,y \in S x , y ∈ S x ∘ y = y ∘ x x \circ y=y \circ x x ∘ y = y ∘ x ∘ \circ ∘ S S S 交换律 。
结合律 ：设 ∘ \circ ∘ S S S x , y , z ∈ S x, y, z \in S x , y , z ∈ S ( x ∘ y ) ∘ z = x ∘ ( y ∘ z ) (x \circ y) \circ z=x \circ(y \circ z) ( x ∘ y ) ∘ z = x ∘ ( y ∘ z ) ∘ \circ ∘ S S S 结合律 。
幂等律 ：设 ∘ \circ ∘ S S S x ∈ S x \in S x ∈ S x ∘ x = x x \circ x=x x ∘ x = x ∘ \circ ∘ 幂等律 。
消去律 ：设 ∘ \circ ∘ S S S x , y , a ∈ S x,y,a \in S x , y , a ∈ S x ∘ a = y ∘ a x \circ a=y \circ a x ∘ a = y ∘ a x = y x=y x = y ∘ \circ ∘ S S S 消去律 。
注：对于有限集合上的二元运算：
每一行都没有重复元素 ⇔ \Leftrightarrow ⇔
每一列都没有重复元素 ⇔ \Leftrightarrow ⇔
每行、每列都不相同 ⇔ \Leftrightarrow ⇔
分配律 ：设 ∗ * ∗ ∘ \circ ∘ S S S x , y , z ∈ S x,y,z \in S x , y , z ∈ S x ∗ ( y ∘ z ) = ( x ∗ y ) ∘ ( x ∗ z ) ( 左分配律 ) x*(y\circ z)=(x * y)\circ(x * z) \quad(\text{左分配律}) x ∗ ( y ∘ z ) = ( x ∗ y ) ∘ ( x ∗ z ) ( 左分配律 ) ( y ∘ z ) ∗ x = ( y ∗ x ) ∘ ( z ∗ x ) ( 右分配律 ) (y \circ z) * x=(y * x) \circ(z * x) \quad(\text{右分配律}) ( y ∘ z ) ∗ x = ( y ∗ x ) ∘ ( z ∗ x ) ( 右分配律 ) ∗ * ∗ ∘ \circ ∘
幺元（单位元）
< A , ∗ > { ∃ e l ∈ A , ∀ x ∈ A , e l ∗ x = x A 中关于运算 * 的左幺元 ∃ e r ∈ A , ∀ x ∈ A , x ∗ e r = x A 中关于运算 * 的右幺元 ∃ e ∈ A , ∀ x ∈ A , e ∗ x = x ∗ e = x A 中关于运算 * 的幺元
<A, *>
\begin{cases}
\exists e_{l} \in A,\ \forall x \in A,\ e_{l} * x=x & \text{A 中关于运算 * 的左幺元} \\
\exists e_{r} \in A,\ \forall x \in A,\ x * e_{r}=x & \text{A 中关于运算 * 的右幺元} \\
\exists e \in A,\ \forall x \in A,\ e * x=x * e=x & \text{A 中关于运算 * 的幺元}
\end{cases}
< A , ∗ > ⎩ ⎨ ⎧ ∃ e l ∈ A , ∀ x ∈ A , e l ∗ x = x ∃ e r ∈ A , ∀ x ∈ A , x ∗ e r = x ∃ e ∈ A , ∀ x ∈ A , e ∗ x = x ∗ e = x A 中关于运算 * 的左幺元 A 中关于运算 * 的右幺元 A 中关于运算 * 的幺元 设 ∗ * ∗ A A A A A A ∗ * ∗ e l e_{l} e l e r e_{r} e r e l = e r = e e_{l}=e_{r}=e e l = e r = e A A A
零元
< A , ∗ > { ∃ θ l ∈ A , ∀ x ∈ A , θ l ∗ x = θ l A 中关于运算 * 的左零元 ∃ θ r ∈ A , ∀ x ∈ A , x ∗ θ r = θ r A 中关于运算 * 的右零元 ∃ θ ∈ A , ∀ x ∈ A , θ ∗ x = x ∗ θ = θ A 中关于运算 * 的零元
<A, *>
\begin{cases}
\exists \theta_{l} \in A,\ \forall x \in A,\ \theta_{l} * x=\theta_{l} & \text{A 中关于运算 * 的左零元} \\
\exists \theta_{r} \in A,\ \forall x \in A,\ x * \theta_{r}=\theta_{r} & \text{A 中关于运算 * 的右零元} \\
\exists \theta \in A,\ \forall x \in A,\ \theta * x=x * \theta=\theta & \text{A 中关于运算 * 的零元}
\end{cases}
< A , ∗ > ⎩ ⎨ ⎧ ∃ θ l ∈ A , ∀ x ∈ A , θ l ∗ x = θ l ∃ θ r ∈ A , ∀ x ∈ A , x ∗ θ r = θ r ∃ θ ∈ A , ∀ x ∈ A , θ ∗ x = x ∗ θ = θ A 中关于运算 * 的左零元 A 中关于运算 * 的右零元 A 中关于运算 * 的零元 设 ∗ * ∗ A A A A A A ∗ * ∗ θ l \theta_{l} θ l θ r \theta_{r} θ r θ l = θ r = θ \theta_{l}=\theta_{r}=\theta θ l = θ r = θ A A A
逆元
设 < A , ∗ > <A,*> < A , ∗ > e e e A A A a a a
∃ b ∈ A , b ∗ a = e \exists b \in A,\ b * a=e ∃ b ∈ A , b ∗ a = e b b b a a a 左逆元
∃ b ∈ A , a ∗ b = e \exists b \in A,\ a * b=e ∃ b ∈ A , a ∗ b = e b b b a a a 右逆元 b b b a a a a a a b b b a a a 逆元 。 b b b a a a a a a b b b a a a b b b x x x x − 1 x^{-1} x − 1 x − 1 x^{-1} x − 1 y y y x ∗ x − 1 = e x * x^{-1}=e x ∗ x − 1 = e x − 1 x^{-1} x − 1 x x x
例1：设 A = { a , b , c } A=\{a,b,c\} A = { a , b , c } A A A ∗ * ∗ ∘ \circ ∘ ∗ * ∗ ∘ \circ ∘
解：
二元运算 ∗ * ∗
单位元：a a a
零元：无
逆元：a − 1 = a , b − 1 = c , c − 1 = b a^{-1}=a,\ b^{-1}=c,\ c^{-1}=b a − 1 = a , b − 1 = c , c − 1 = b
二元运算 ∘ \circ ∘
单位元：a a a
零元：b b b
逆元：a − 1 = a a^{-1}=a a − 1 = a